1. 研究目的与意义
二次规划是非线性规划中的一类特殊数学规划问题，也是最简单的非线性规划，通常通过解其库恩-塔克条件（KT条件）获取一个解，它的应用范围十分广泛，如投资组合（均值方差模型，这个模型及其所蕴含的风险分散化思想是现代投资理论的基础）、约束最小二乘问题的求解、序列二次规划在非线性优化问题中应用等。在过去的几十年里，二次规划已经成为运筹学、经济数学、管理科学、系统分析和组合优化科学的基本方法。本篇论文会侧重于其在投资组合中的运用。到目前为止，已经出现了很多求解二次规划问题的算法，如拉格朗日方法、Lemke方法、内点法、有效集法、椭球算法等等，并且现在仍有很多学者在从事这方面的研究工作。在数学规划中，由于凸二次规划有着特殊作用，人们一直把它作为一个重要课题加以研究。二次规划一直是非线性规划中值得研究的一类问题，因为它不仅可以用来求解工程设计、生产调度、市场经济领域中的实际问题，而且很多非线性问题可以转化为此类模型求解，因此，对一般二次规划问题进行研究讨论，从实践和理论两方面深入挖掘，不仅能对解决现实问题起指导作用，同时也对理论研究有所贡献。目前，序列二次规划（SQP）法是求解复杂非线性规划最有效的方法。
2. 研究内容和预期目标
研究内容：二次规划算法（主要研究凸二次规划）及其应用（其在经济学中的应用）
拟解决的关键问题：关于二次规划的算法（凸二次规划）
写作提纲:论文主要分为三个部分，第一部分是简单介绍二次规划并研究其最优性条件。第二个部分研究其算法，序列二次规划（SQP）法是求解复杂非线性规划最有效的方法。SQP法将一个复杂的非线性规划在某一点处用一个二次规划近似，前者称为原问题，后者称为子问题。通过求解二次规划子问题获取一个新的解（点），然后再将原问题在新的点用一个二次规划并求解，如此等等，以获取原问题的一个解。第三个部分是研究并分析一个其应用在经济学中的案例，分析如何在一定限制条件下，达到收益最大化的目的。
3. 国内外研究现状
1951年Kuhn-Tucker最优条件(简称K-T条件)的建立是重要的理论。在二次规划的算法当中，首先利用Davidon，Fletcher和Powell提出的DFP方法得到牛顿算法。到了六十年代，拟牛顿算法的研究得到了广泛的研究，同时也很好的研究了共轭梯度算法。在二十世纪七十年代，Broyden,Fletcher, Goldfarb 和Shanno提出的BFGS方法到现在也是最有效的拟牛顿算法。通过Broyden,Dennis的研究理论，拟牛顿算法已经有所完善和改进。由于二次规划问题具有特殊的重要性，许多研究学者在这个问题领域内提出了相当多的有效的算法如：拉格朗日算法、有效集算法、Lemek算法等等。虽然这些算法都有很好的效果，但是他们也有很多的问题存在。在1984年，通过Karmarkar提出的梯度投影算法，使得利用内点算法成为近几十年优化领域的热点问题。因而，也就出现了内点算法在求解二次规划中的应用。到目前为止，内点算法也是求解二次规划问题的主要研究对象。但是通过内点算法求解问题之前，必须要满足：首先，确定问题的可行域是不是非空的，必须在可行域里有一个严格的可行内点；然后，要寻找在可行域里的可行内点，再从它开始进行迭代。1989年，Kojima、 Megiddo以及Mizuno提出了一个变形的内点算法，它可以解决了在大规模问题中，找到一个严格可行的内点上的困难，并且数值结果表明算法的有效性。在这之后，Mizuno对该算法的多项式复杂性进行了分析，证明了该算法也是一个多项式算法的结合。再经过Ye，Monterior，Zhang等人的工作后，不可行内点算法的理论得到了进一步得发展。在非线性规划的领域里，因为很多的问题都是二次函数来推导出的，所以二次规划问题是其中非常重要的一个分支。目前，虽然拉格朗日方法是求解等式约束二次规划问题的常用方法。该方法对规划问题的拉格朗日函数求导，再令导数为零，这样就获得一个线性方程组。然而拉格朗日方法有两个缺点：首先是构造的线性方程组个数与约束个数有关，当变量个数以及约束个数很大时，就会使计算量很大，且将占用计算机较大的存储空间；其次是要计算矩阵的逆，且计算量较大。路径跟踪法是将对数障碍函数和牛顿迭代算法结合起来应用到求解二次规划的问题。这是因为既满足了算法的全局收敛性，而且初始点接近可行域的中心路径。同时，积极集法是一个可行点算法，即每个迭代点都要求是可行点。通过在每次迭代中求解含有一个等式约束的二次规划问题，得到原问题的可行点。考虑等式约束的二次规划的解，如果它是原问题的可行点，那么停止计算；反之，去掉一个约束条件再求解等式约束问题。如果等式约束的二次规划的解不满足原来二次规划的可行点的时候，那么就添加一个约束再计算等式约束的问题。
4. 计划与进度安排
1. 2022年11月10日（本学期第十三周）- - 完成选题工作；
2. 2022年11月30日前- - 完成开题工作；
3. 2022年3月18日前- - 完成初稿和中期检查工作；
5. 参考文献
[1]石国春.关于序列二次规划（SQP）算法求解非线性规划问题的研究[D].甘肃：数学、运筹学与控制论，2009.
[2]雍龙泉.二次规划的算法研究[D].西安：应用数学，2005.
[3]张忠桢.二次规划-非线性规划与投资组合的算法[M].武汉：武汉大学出版社，2006.
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